Original: http://www.math.stonybrook.edu/~tony/mazes/levelseq.html

Läbi labürindid matemaatika

Põhiline asjaolu, mis võimaldab matemaatilise uuring lihtne, vaheldumisi transiidi labürindid on järgmine. Topoloogiaks lihtsa vaheldumisi transiidi labürint on täielikult määratud tema tase järjestust.  Kuidas see toimib on selgitatud allpool; see tähendab, et kui kaks istus labürindid (ütleme nii  lahtirullitud kujul), on samal tasemel järjestust, siis üks saab muuta sobitada teisi või peegelpilt teiselt poolt pidev, tasemele säilitav deformatsioon.

Sellest järeldub, et täielik topoloogiline  klassifikatsiooni lihtsate vahelduva transiidi labürindid sellega määraks  mis järjestused numbrid võivad esineda tasemel järjestused ning tegelikult on kolm tingimust, mis on vajalik ja piisav permuteerimist numbreid 0 kuni n olevat tasandil järjestus istus labürint sügavus n.

1. järjestuse peab algama 0 ning lõpevad n.
2. veider ja isegi täisarvud peab vahelduma järjestuses.
3. Vaatleme paari järjekorranumbrid tasemes järjestust, mis algavad paarisarv; need vastavad vertikaalsegmenti paremal küljel labürindis. (*) Kui kaks neist kattuvad, üks tuleb pesastatud teise sees.  Sama peab olema, et paari algab paaritu arv; ende vastavad vertikaalse tee segmentide vasakul.

Näide: tasemes järjestus  Constantinople labürindis segmendid (10,1) ja (2,11) kattuvad, kuid kumbki on pesastanud muud; nii et see ei saa olla tasemel järjestus sat labürindis.

Siin on kuidas seda tõestada.
Vajadus 1: ilmne.
Vajadus 2: oletame, et kaks järjestikust kihti, mis on ühendatud parempoolse vertikaalse segmendiga, ütlevad, et neil on sama paarsus; nende ruumis peab olema paaritu arv tasandeid. Selles ruumis läbitav tee peab sisenema vasakult vasakusse ja sellest väljumiseks ning seega võib kasutada ainult ühtlast arvu tasemeid. Vastuolu
Vajadus 3: mõtle, et labürindis on lahti võetud kujul sissepääs, öelge paremal. Tee algab paremal pool tasemel 0 ja langeb mõne veetase tasemeni. Seejärel tõuseb see vasakule ja liigub järjekorras järgmisele tasemele, mis on ühtlane, seejärel ristub tagasi paremale jne. Seega järjestikuste numbrite arv taseme järjestuses, mis algab täisarvuga, vastab vertikaalsele labürindi paremal pool ja need, mis algavad paaritu arvuga, vasakpoolsete segmentidega. Nüüd kaaluge mõlemat vertikaalse tee segmenti paremal. Kui need kattuvad, tuleb teine ​​paigas asetada. Vastasel juhul ei saa need mõlemad olla horisontaalsete segmentidega vasakpoolsel küljel ühendatud, sest labürindi ei saa ise lõikuda; ja see peab jääma vasakpoolsete vertikaalsete teegisektsioonide jaoks.

Piisavus: Oletame antud permutatsiooni täisarvud 0 kuni n, mis vastab tingimustele 1, 2 ja 3. Siin on, kuidas teha see labürindis. On tükk vooderdatud paberi, number read 0 kuni n, alustades ülaosas. Iga järjestikuse paari täisarvude jada, mis algab paarisarv, liituda vastavalt nummerdatud read vertikaalse segmendi paremal pool lehele. Kui kaks neist segmente pesastatud, joonistada lühemat vasakul pikem. Nüüd teha sama paaritute algab paari, välja arvatud vasakul küljel, lühem segmentide paigutatud paremale. Nüüd iga järjekorranumbritega 1,…, n-1 on kaks vabad otsad näitaja. Ühine nendega selles liinis; see jätab vaba otsa ülaosas ja allosas. Sa on juhtinud Ariadne niit rullitud vormi sat. labürindis vastab tasandil jada te algas. Nüüd on lihtne visandada labürindis ise. Veelgi enam, joonistus, et osa labürindis lähedal parema ja vasaku käe servad lehe ja liitumine nende kahe tükki omavahel kokku väljaspool selg, toodab tuumas kust kokkurullitud kujul võib koostada.

Tony Phillips
Matemaatika osakond SUNY Stony Brook
tony at math.stonybrook.edu
18. november 2016