Original: https://academics.davidson.edu/math/chartier/Shuffle/index.html

Kaardi segamine, matemaatiline modelleerimine ja Markovi ahelad

autorid Timothy P. Chartier ja Ruuben K. Fries

Sissejuhatus

Teile jagatakse 5 kaarti. Tõstke oma kaardid, et käes oleks 4 ässa! Koefitsient, et sulle jagatakse viie kaardi käes neli suvalist suvalist, on selgelt sinu vastu, kui tekk on juhuslikult tellitud. See paneb mõtlema, kas tekk ei olnud piisavalt segamini või oli sul väga vedada? See tekitab muid küsimusi kaardipakki lohistamise kohta. Mitu korda peate kaardipakki segama, enne kui teki järjekord on piisavalt juhuslik? Kas teki tellimiseks on vaja minimaalset arvu juhte, et tekki ei tellita, või pole seda etteaimatav? Kas on olemas punkt, kus jätkuv segamine ei aita tekki vähem ettearvatavaks muuta? Ja mida me mõtleme juhuslikkuse, korra ja ennustatavuse all kaardipakis?

Probleemi modelleerimine

Nendele küsimustele vastamiseks on üks meie käsutuses olevaid vahendeid matemaatiline modelleerimine. Raske on otsesõnu öelda, mida me mõtleme, kui ütleme, et tekk on või pole “juhuslik”. Ilma sellise selgesõnalise määratluseta oleks kaardipaki segamise juhuslikke omadusi äärmiselt keeruline analüüsida.

Matemaatika kasutamine kaardipakki käitumise modelleerimisel, kui see on segatud, võimaldab meil tekki arengu analüüsimiseks kasutada matemaatilisi mõisteid korra ja ennustatavuse kohta. Matemaatilised mudelid on vaid ligilähedasus tegelikkusele, kuid ohverdus, mille me matemaatilise mudeli kasutamisel täpsusega ohkame, on rohkem kui ette nähtud: Matemaatilise mudeli kasutamine võimaldab meil kasutada matemaatika jõulist tööriistakomplekti olukorra analüüsimiseks nii kvantitatiivselt kui ka kvalitatiivselt.

Mudel

Tavapärasel viisil segamisliigutuste kaardipakk on sageli nimetatakse kärestik shuffle, sest sa kärestik kaardid koos kahe vaiad. Oma paberi Lõpp tapi segage oma kaarega (Ann. Appi. Tõenäosus 2, 294-313, 1992), David Bayer ja Persi Diaconis tabavalt kirjeldada matemaatilise mudeli kärestik shuffle, mida nimetatakse GSR (Gilbert, Shannon, pilliroog) mudel:

“n-kaardipakk lõigatakse binoomjaotuse järgi kahte ossa; seega on k-kaardi katkemise võimalus  jaoks . Kaks paketti on siis riffled kokku nii, et kaardid kukuvad vasakult või paremalt hunnikust tõenäosusega, mis on proportsionaalne igas hunnikus olevate kaartide arvuga.” -Bayer ja Diaconis

See ütleb, et kaardipakk lõigatakse tavaliselt umbes keskpaigas ja harva lõigatakse teki esi- või tagaosa lähedale. Järgmisena võib tekki segades seda vaadelda kui ühte kaarti teise järel vasakult ja paremalt käelt kukkudes. Selle mudeli puhul eeldatakse, et vasakult käelt kukub kaart L/(L+R), kus L ja R on vastavalt vasakus ja paremas käes olevate kaartide arv. Näiteks kui teil oleks vasakpoolses käes 10 kaarti ja paremas 15 kaarti, siis tõenäosus, et järgmine kaart vasakust käest kukub, on 10/(10+15) ja tõenäosus, et see langeb paremalt, oleks olema 15/(10+15). Pange tähele, et 10/(10+15) ja 15/(10+15) summa võrdub 1. Tõepoolest, kui järgmine kaart kukub vasakult või paremalt käelt, on 1.

Seda mudelit kasutades uurivad Bayer ja Diaconis juhuslikkuse arengut kaardipakil, mitu korda mitu korda segamini. Iga segamine viib teki ühest olekust teise teatud tõenäosusega. Siin saavad Markovi ahelad kasulikeks. Markovi ahelate saab modelleerida käitumist süsteemi, mis sõltub ainult eelmise katse või riigi. See tähendab, et järgmisel süsteemi olekut sõltub ainult hetkeseisu, kus tulemus iga katse on üks diskreetne hulk riike. Markovi ahelate nõuavad muutmise maatriksisse, P, kus P(j,i) võrdub tõenäosus läheb riigi i teatada j.

Anna meile tagasi meie fookus Kaartide segamine. Komplekt discete riigid meie süsteem võiks määratleda kui n! võimalik orderings tekile n kaarte. Kas näete probleemi selles? Vastav ülemineku maatriks tekk 52 kaardist nõuaks ruutmaatriks mõõde 52! x 52!. Meie arvutused*, kirjete arv selles maatriksis nõuaks on tärn suurem kui aatomite arv Maa.

Me võiks valamu kuristikku lootusetu viletsuse. Selle asemel, olgem määratleda tõuseb järjestus. Jällegi, me laename mõiste Bayer ja Diaconis:

Näiteks järjestusel “1745236”, nagu allpool näidatud, on täpselt kolm tõusvat jada.

Esimene tõusev jada on 123, nagu on näidatud allpool, kuna need numbrid leitakse järjestuses vasakult paremale.

Järgmine tõusev jada on 7:

Kolmas ja viimane tõusev jada on 456:

n-kaardiseki esialgne tellimine on 123…n, millel on üks tõusev järjestus. Kõigi tellimuste korral on tõusevate jadade minimaalne arv 1 ja n-kaardi tellimisel võib olla kuni n tõusevat jada. (Kontrollige seda ise.) Nüüd määratlegem riik i kui olukord, kus meil on tellitud kaarte, mis sisaldavad i rising sequences. By redefining our states in this way, the transition matrix requires only n x n entries.

Täpsemalt, üleminekumaatriksi P kanded on:

kus a(j)=Eulerian numbrid. Need numbrid tähistavad mitmeid permutatsiooni {1,2…,n}, mis on j tõusvad järjestusi.

Küsimus, kui palju segab on vaja juhuslikult teki veel. Interaktiivselt uurida selle mudeli ja avastada vastus, kliki siia simulatsiooni GSR mudel.

*Seda tööd toetas NSF-i toetus DMS-9810726.

Multikad tänu Learn2.com